Le jeu de Juliette

Juliette commence un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la première partie. On admet que, si elle gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la partie suivante est de \(0,6\)  et que, si elle perd une partie, la probabilité qu'elle perde la suivante est de  \(0,7\) .

On note, pour \(n\)  un entier naturel non nul,

• \(\text G_n\)  l'événement « Juliette gagne la \(n\) ième partie. »
  
• \(\text E_n\)  l'événement « Juliette échoue à la \(n\) ième partie. »
  

Partie A
1. a. Déterminer les probabilités \(P(\text G_1)\) , \(P_{\text G_1}(\text G_2)\)  et  \(P_{\text P_1}(\text G_2)\) .
    b. En déduire la probabilité  \(P(\text G_2)\) .
2. Calculer la probabilité qu'elle échoue à la deuxième partie.

Partie B
On pose, pour \(n\)  un entier naturel non nul, \(x_n = P(\text G_n)\)  et  \(y_n = P(\text E_n)\) , ainsi pour tout ,  \(x_n\) est la probabilité que Juliette gagne la \(n-ième\) partie ...  
1. Préciser, pour \(n\)  entier naturel non nul, les probabilités \(P_{\text G_n}(\text E_{n+1})\)  et  \(P_{\text E_n}(\text G_{n+1})\) .
2. Montrer que, pour tout \(n\)  entier naturel non nul,

\(\left\{\begin{array}{c @{\; = \;} c}x_{n+1}= & 0,6x_n + 0,3y_n \\y_{n+1} =& 0,4x_n + 0,7y_n \\\end{array}\right.\)

3. Pour  \(n\) entier naturel non nul, on pose \(v_n = x_n + y_n\)  et  \(w_n = 4x_n - 3y_n\) .
    a. Montrer que la suite \(\left(v_n\right)\)  est constante de terme général égal à \(1\) .
    b. Montrer que la suite \(\left(w_n\right)\)  est géométrique et exprimer \(w_n\)  en fonction de \(n\) .
4. En déduire l'expression de \(x_n\) et \(y_n\) en fonction de \(n\) .
5. Maxime lui conseille de jouer un grand nombre de parties pour qu'elle ait plus de chances de gagner. Juliette doit-elle l'écouter ?